Egy 216 karakteres üzenet, amely 87 év után megdöntött egy matematikai sejtést

Van valami különösen izgalmas abban, amikor egy problémán generációk óta dolgoznak a legjobb matematikusok, majd egyszer csak, szinte váratlanul, megoldódik. Pontosan ez történt július 19-én éjjel, amikor Levent Alpöge matematikus egy rövid üzenetet tett közzé az X-en, amely minden jel szerint a mesterséges intelligencia segítségével eddig megoldott legnehezebb matematikai problémát képviseli. A történet igazán különleges részlete, hogy Alpöge az Anthropic Claude Fable 5 nevű mesterségesintelligencia-modelljét használta fel ahhoz, hogy megalkosson egy olyan ellenpéldát, amely megcáfolja a Jacobi-sejtést – ezt a kérdést az algebrai geometria egyik legrégebb óta megoldatlan rejtélyeként tartották számon.

Ahhoz, hogy megértsük, mekkora eredményről van szó, érdemes egy kicsit visszamenni az időben. A sejtést eredetileg 1884-ben fogalmazták meg, akkor még csak két változóra vonatkozóan, majd 1939-ben általánosították tovább. Lényegében azt állítja, hogy ha veszünk egy olyan polinomiális függvényt, amely egy n-dimenziós teret önmagába képez le, és ennek a függvénynek a Jacobi-determinánsa egy nemszinguláris konstans érték, akkor a függvénynek szükségszerűen kell léteznie egy polinomiális inverzének is. Ez elsőre talán bonyolultan hangzik, de a lényeg az, hogy ez a kérdés annyira fontosnak számított a szakterületen, hogy bekerült Steve Smale matematikus híres listájára is, amely a 21. század 18 legfontosabb megoldandó matematikai problémáját sorolja fel.

Amit Alpöge valójában közzétett, az nem a sejtés bizonyítása volt, hanem éppen ellenkezőleg: annak cáfolata. Egy háromdimenziós komplex térben értelmezett polinomiális leképezést alkotott meg, amelynek Jacobi-determinánsa állandó, méghozzá pontosan negatív kettő értékű, ennek ellenére a leképezés nem invertibilis, vagyis nem rendelkezik inverzzel, ahogy azt a sejtés állította volna. A bizonyítás lényege igazán elegáns: három különböző bemeneti pont, konkrétan (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) és (-1, 3/2, 13/2), mindegyike pontosan ugyanarra a kimeneti értékre képeződik le, méghozzá a (-1/4, 0, 0) pontra. Ez pedig egyértelműen bizonyítja, hogy a függvény nem injektív, tehát elméletileg sem rendelkezhet inverzzel. Talán a legmeglepőbb részlet az egészben, hogy maga az ellenpélda mindössze 216 karakter hosszú, ahogyan az a New Scientist cikkéből is kiderül. Alpöge emellett arra is ügyelt, hogy az eredeti bejegyzésébe Wolfram Alpha segítségével végzett ellenőrzéseket is beépítsen, ezzel is alátámasztva állítása helyességét.

A matematikusok által üzemeltetett Secret Blogging Seminar nevű blog beszámolója szerint az ellenpélda szinte azonnal felkeltette a szakmai közösség figyelmét. Andy Jiang matematikus például egy szinte költőien elegáns geometriai konstrukciót dolgozott ki a leképezéshez, amivel még szemléletesebbé tette az eredményt mások számára. Fontos ugyanakkor pontosítani, hogy az eredmény kizárólag a kettőnél több dimenziós esetekre cáfolja meg a sejtést. A kétváltozós speciális eset, amelyet még 1884-ben eredetileg megfogalmaztak, továbbra is nyitott probléma marad, tehát a matematikusoknak van még mit tenniük ezen a téren. Mindettől függetlenül a New Scientist beszámolója szerint a szakértők egyöntetűen ezt tartják a mesterséges intelligencia által eddig megoldott legnehezebb matematikai problémának, ami önmagában is jelentős mérföldkő.

A publikáció idején az ellenpélda még nem esett át formális szakmai bírálaton, és arXiv-on történő hivatalos közzétételére is várni kell. Ugyanakkor több matematikus is rámutatott egy megnyugtató körülményre: az ehhez hasonló ellenpéldák viszonylag könnyen, számítógéppel is ellenőrizhetők, hiszen annak igazolásához, hogy a Jacobi-determináns valóban állandó, illetve hogy a három megadott pont tényleg egybeesik, csupán egyszerű polinomiális aritmetikára van szükség, nem pedig bonyolult, nehezen ellenőrizhető matematikai levezetésekre. Érdemes még megemlíteni magát Alpögét is, aki egyébként a Princetoni Egyetemen szerezte PhD-fokozatát, majd ezt követően a Harvard Society of Fellows junior ösztöndíjasaként dolgozott tovább, mielőtt 2024-ben csatlakozott volna az Anthropichoz. Az ő pályafutása is jól mutatja, hogy a mesterséges intelligencia egyre inkább nem csupán egy hasznos eszközzé válik a kutatók kezében, hanem valóban aktív partnerré léphet elő olyan problémák megoldásában, amelyeket korábban évtizedekig, sőt évszázadokig sem sikerült megnyugtatóan lezárni.

FORRÁS

(Nethuszár)